Теорема Кантора о равномерной непрерывности

Если $f$ непрерывна на компактном $K$, то $f$ равномерно непрерывна на $K$.

Доказательство от противного. Предположим, что $f$ не является равномерно непрерывной на $K$. Тогда отрицание определения: $$\exists{\varepsilon > 0}~~ \forall{\delta > 0} \mathpunct{:}~~ \exists{\mathbf{x}, \mathbf{y} \in K}~~ \rho(\mathbf{x}, \mathbf{y}) < \delta \land |f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{y})| \geq \varepsilon$$ Выберем $\delta_n = \dfrac{1}{n}$ для $n = 1, 2, 3, \dots$. Тогда для каждого $n$ существуют точки $\mathbf{x}_n, \mathbf{y}_n \in K$ такие, что: $$\rho(\mathbf{x}_n, \mathbf{y}_n) < \dfrac{1}{n} \land |f(\mathbf{x}_n) - f(\mathbf{y}_n)| \geq \varepsilon$$ Последовательность $\{\mathbf{x}_n\}$ ограничена, так как $K$ компактно. По теореме Больцано-Вейерштрасса, из $\{\mathbf{x}_n\}$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность $\{\mathbf{x}_{n_k}\}$: $$\mathbf{x}_{n_k} \to \mathbf{x}_0 \in K$$ Теперь рассмотрим последовательность $\{\mathbf{y}_{n_k}\}$. Используя неравенство треугольника для метрики $\rho$: $$\rho(\mathbf{y}_{n_k}, \mathbf{x}_0) \leq \rho(\mathbf{y}_{n_k}, \mathbf{x}_{n_k}) + \rho(\mathbf{x}_{n_k}, \mathbf{x}_0)$$ Мы знаем, что $\rho(\mathbf{y}_{n_k}, \mathbf{x}_{n_k}) < \dfrac{1}{n_k}$ и $\rho(\mathbf{x}_{n_k}, \mathbf{x}_0) \to 0$ при $k \to \infty$. Следовательно: $$\rho(\mathbf{y}_{n_k}, \mathbf{x}_0) < \dfrac{1}{n_k} + \rho(\mathbf{x}_{n_k}, \mathbf{x}_0) \to 0$$ Это означает, что $\mathbf{y}_{n_k} \to \mathbf{x}_0$. Так как функция $f$ непрерывна на $K$, то она непрерывна в точке $\mathbf{x}_0$. Следовательно: $$\lim\limits_{k \to \infty} f(\mathbf{x}_{n_k}) = f(\mathbf{x}_0) \quad \text{и} \quad \lim\limits_{k \to \infty} f(\mathbf{y}_{n_k}) = f(\mathbf{x}_0)$$ Тогда: $$\lim\limits_{k \to \infty} (f(\mathbf{x}_{n_k}) - f(\mathbf{y}_{n_k})) = f(\mathbf{x}_0) - f(\mathbf{x}_0) = 0$$ Однако, мы имели $|f(\mathbf{x}_{n_k}) - f(\mathbf{y}_{n_k})| \geq \varepsilon$ для всех $k$. Это противоречит тому, что предел разности равен $0$. Полученное противоречие доказывает теорему. $\square$